Z-sayılar ve Z-sayılarda aritmetik işlemler

Abstract

Günlük yaşamdaki birçok problem matematiksel olarak formüle edilmeye çalışılır. Ancak bu problemlerdeki belirsizlik ve bilginin güvenirliği bu formülasyonu zor hale getirmektedir. Bu amaçla fuzzy sayı kavramı kullanılsa da fuzzy sayılar sadece belirsizlikleri modellemek için kullanılmaktadır. Zadeh tarafından önerilen Z-sayılar ise gerçek hayat problemlerini modellemek için çok daha uygundur. Bir Z-sayı, Z = (A, B) şeklinde sıralı ikiliden oluşmaktadır. Burada, A belirsizliği ifade eden bir fuzzy sayı iken ve B de A'nın güvenirliği ile ilgili bir fuzzy sayıdır. Konuşma dilinde belirsizlik içeren cümleler matematiksel olarak Z-sayılar yardımıyla ifade edilebilir. Örneğin, (COVID-19'un kuluçka süresi 5 gün civarındadır, Muhtemelen) ifadesi bir Z-sayıdır. Burada, "COVID-19'un kuluçka süresi 5 gün civarındadır" cümlesi A fuzzy sayısına, "Muhtemelen" ifadesi de A'nın güvenirliğini gösteren B fuzzy sayısına karşılık gelmektedir. Z-sayılar kesin ve güvenilir bilginin olmadığı karar verme süreçlerinde kullanılmaktadır. Ancak Z-sayılarla aritmetik işlemler yapmak çok da kolay değildir. Bu tezde, ilk olarak Z-sayılar hakkında detaylı bilgi sunulmuştur. Sonra, Z-sayılar üzerinde aritmetik işlemlerin nasıl yapılabileceği kapsamlı bir literatür taramasıyla verilmiştir. Son olarak çeşitli örneklerle bu konu pekiştirilmiştir.

Many problems in real world require mathematical formulization. However, the uncertainty in these problems and the reliability of the information makes this formulation difficult. Although the concept of fuzzy numbers is used for this purpose, fuzzy numbers are deal with only for modeling uncertainties. Z-numbers, proposed by Zadeh, are more convenient for modeling real life problems. A Z-number consists of an ordered pair in the form Z = (A, B). Here, A is a fuzzy number expressing uncertainty and B is also a fuzzy number related to the reliability of A. In linguistic sentences, containing uncertainty, can be expressed mathematically by Z-numbers. For instance, (The incubation period of COVID-19 is around 5 days, Probably) is a Z-number. Here, the phrase "The incubation period of COVID-19 is around 5 days" corresponds to the fuzzy number A, and the expression "Probably" corresponds to the fuzzy number B, which indicates the reliability of A. Z-numbers are used in decision-making processes where precise and reliable information is not available. However, arithmetic operations with Z-numbers are not so easy. In this thesis, first, detailed information about Z-numbers is presented. Then, a comprehensive literature review on how to perform arithmetic operations on Z-numbers is given. Finally, this subject has been reinforced with various examples.